激活思维的节点——《质数和合数》教学案例
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激活思维的节点——《质数和合数》教学案例,
激活思维的节点
作者:江苏省淮阴师范学院第一附属小学
本周我上了一节教学常规视导课，是小学数学第10册的《质数和合数》。
片断一：
课前，我问学生：“今天我们在教室上课与往日有什么不同吗？”
“来了三位客人老师。”生齐答。
“是的，每位同学都表现出了最佳的精神状态。好的，你能根据一定的标准将我们教室内所有的师生进行分类吗？”
生①：“可以根据老师和学生的区别分为两类，就是所有的老师为一类，所有的学生为一类。”
生②：“可以根据性别来分类，所有男的为一类，所有女的为一类。”
生③：“可以根据是否戴眼镜来分类，戴眼镜的人为一类，不戴的为一类。”
生④：“可以把听课的老师分为一类，把我们自己班的同学和任老师分为一类。”
生⑤：“可以按小组来分类，第一组为一类，第二组为一类，第三组为一类。”
……
还有很多双小手示意要发言。
“刚才这几位同学的分类都有一定的道理，有自己的分类标准，是可以的。下面我想请你简洁地、最好就用一句话来解决一个问题。”
“假如有人说我们教室内的人全部都是男的。你如何跟他反驳？”我发问。
“我就指着卞茜说她是女的，就可以说明他说的这句话是错的。”小调皮张强指着自己的同桌说，引起全班同学大笑。
“张强说的有道理吗？”
“可以的，只要指出有一个不是男的，就能证明那句话是错的。”有学生解释给其他同学听。
片断二：
“前面我们学习了约数和倍数的有关知识，你能有序地写出一个数的所有的约数吗？”
我把“所有的”三个字加重了音说，目的是为了强调，不漏写约数。
很快，大家都写好了1～12这12个数的所有的约数，我把其中一个同学写的展示出来了：
1的约数：17的约数：1、7
2的约数：1、28的约数：1、2、4、8
3的约数：1、39的约数：1、3、9
4的约数：1、2、410的约数：1、2、5、10
5的约数：1、511的约数：1、11
6的约数：1、2、3、612的约数：1、2、3、4、6、12
“你能根据约数的个数来将这12个数进行分类吗？”我强调了“约数的个数”这几个字。
生①：“我想把这12个数分成这样几类，1有一个约数为一类，2、3、5、7、11各有两个约数为一类，4、9各有三个约数为一类，6、8、10各有四个约数为一类，12有六个约数为一类。即约数个数相同的各为一类。”
生②：“我是把约数的个数为奇数的分为一类，个数为偶数的分为一类，即1、4、9为一类，2、3、5、6、7、8、10、11、12为一类。”
生③：“我是把1、2、3、4、5、7、9、11分为一类，6、8、10、12分为一类的，因为第一类数的约数的个数都是3个或3个以下的，而另一类数的约数个数都是3个以上的。”
生④：“我是把1、2、3、5、7、11分为一类，4、6、8、9、10、12分为一类的，因为第一类数的约数的个数都是1个或2个的，而另一类数的约数个数都是2个以上的。”
生⑤：“我是这样分的，1分为一类，2、3、5、7、11分为一类，4、6、8、9、10、12分为一类的。因为1既不是质数也不是合数；2、3、5、7、11是质数，它们只有两个约数；4、6、8、9、10、12是合数，它们有三个或三个以上的约数。”
“他都知道质数和合数了，一定是课前作了很好的预习，预习也是搞好学习的重要环节。”我边板书“质数”、“合数”，边表扬生⑤，“那么质数和合数到底‘长得’是什么样的呢？我们继续研究。”此时，由师生共同直接从质数和合数的概念入手，再次深入研究其约数个数的不同特征。
片断三：
“前面，我们按照一个数是否能被2整除可以把自然数分为两类，奇数和偶数。今天我们能否重新给自然数分类呢？”说着，我在黑板上板书了“自然数”三个字，并在下面画了一个椭圆。
生①：“可以分为质数和合数两类。”
生②：“不对，还要再加上‘1’才行！”
生③：“我也同意把自然数分为三类，就是‘1’、‘质数’和‘合数’。”
她把“1”画在一个小小的圈里（上图①），“为什么把‘1’画在这个小小的圈里呢？”我不解地问。
“因为只有‘1’啊！”她更不解地看着我。
“你觉得‘1’只有一个，是吗？”
女孩点点头。
“‘1’虽然这一类只有一个，可它也是一类啊，对不对？是一类就应该享有平等的‘权利’，是吗？”我问大家。
“是的。”全体同学作答。
“那我们可以这样来表示吗？”（如图②）。
“可以。”
“那你们再来猜猜看，在非零自然数中是质数多还是合数多？”
“因为质数和合数都有无限多个，所以应该画一样的。”
片断四：
在让学生动手制作100以内的质数表时，我先让学生说出自己的制作步骤，然后才动手制作，等制作完成时，我问：“我们在把2、3、5、7的倍数划去后，还要不要继续划去8的倍数、9的倍数、10的倍数……？”
生①：“不需要再继续划去8的倍数了，在前面划去2的倍数时，已经把8的倍数都划去，因为一个数如果是8的倍数，它肯定也是2的倍数。”
生②：“同样道理，也不需要再继续划去10的倍数了。”
“那9的倍数呢？”我接着问。
生③：“也不需要再继续划去9的倍数了，在前面划去3的倍数时，已经把9的倍数都划去，因为一个数如果是9的倍数，它肯定也是3的倍数。”
“对，是这样的。那么我们在制作100以内的质数表时，当7的倍数划完后，一直要划到哪个数的倍数为止呢？”
生④：“就到7的倍数划完后就可以了，因为7后面的一个质数是11，11乘11是121，121都超过100了，所以到7的倍数划完后剩下的数就都是质数了。”
思考：
上述四个片断的处理，我认为基本上突破了《质数和合数》这一课时的关键和难点，实现了使学生理解和掌握质数和合数的意义这一目标，同时在这个过程中也实现了对学生渗透某些数学思想的任务，如集合的思想、分类的思想、极限的思想等等。
①片断一是课前谈话，看似普通，实则用意深刻，因为这是片断二的铺垫之作，没有片断一的伏笔，就不会有片断二中对1～12这12个数的分类的深刻和有意义。因为片断二中对12个数的分类是充分的，所以学生对于质数和合数的概念的形成也是牢固的，有意义的，可建构的，有“原形”的。实则上对于质数和合数的区分，是基于对这个数的约数的个数的区分的，而这个对约数个数的分类的历程又是丰富的，是源自学生已有认知基础的，从已有认知到质数概念的建立，这也是一个思维的节点，必要的、充分的对于约数个数的分类则是有效激活这一节点的重要环节。
②片断三重在解决两个问题，一个是“1”在非零自然数的这一次分类中到底占有几席之地？一个是“质数”和“合数”两者中谁的个数更多？第一问题学生可以丝毫不经思考地把“1”圈在一个很小的圈里，这是学生真实的想法，因为“1”就只有一个数，而质数和合数有那么多，就应该在那个集合里画一个小小的圈。可是从分类的角度出发，尽管“1”只有一个数，质数和合数各有那么多，可“1”在这里它也代表着一类，类与类之间应该是平等的，各有自己的特征，所以把非零自然数的分类作了上述处理（如图②）。第二个问题中，学生从1～12这12个数的分类中可以明显地感觉到，质数少于合数，于是大多数人认为质数少，合数多。那么教师就要借助于“自然数个数、有没有最大自然数”等学生的已有认识进行有效的迁移，逐渐浸润“极限”的思想，让学生在朦胧中感觉两者皆为无限多。在这里，教师就要打碎学生初步的、原生态的固有思维习惯，把它调整到数学的、合理的、有挑战性的思维平台上来，这是又一次思维水平的提升。
③片断四处理的是一个问题解决中策略的合理性问题，“为什么制作100以内的质数表，只要把2、3、5、7的倍数（本身除外）划去就可以了呢？而不需要再去划8、9、10……的倍数呢？”“为什么只要到划去7的倍数后就可以停止了呢？而不要划到11的倍数呢？”如果不解决这些问题，即使学生亲自动手制作了100以内的质数表，其内心也很纳闷，不知其所以然
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