五年级奥数第六讲 盈亏问题

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“老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？”

这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称亏）。

解盈亏问题，常常采用比较的方法。

典型例题

例【1】 老猴子给小猴子分梨。每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。有几只小猴子和多少个梨？

分析 每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少11个梨，这说明小猴子的总只数为：12＋11＝23（只），也就是说：不足的个数＋多余的个数＝小猴子的只数

解 小猴子的只数为：12＋11＝23（只）

梨子的个数为：

23×6＋12＝150（个）或：23×7－11＝150（个）

答：有23只小猴子，150个梨。

例【2】 丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。有多少个小朋友？有多少个苹果？

分析 先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分3个，余16个苹果。每人分5个，还差4个苹果。这两次分苹果，每人相差的个数为：5－3＝2（个）。第1次余16个，第2次少4个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：4＋16＝20（个）。每人相差2个，结果总数就相差20个。

解 有小朋友的人数为：

20÷2＝10（人）

有苹果的个数为：

3×10＋16＝46（个）或5×10－4＝46（个）

综合算式：（4＋16）÷（5－3）＝10（人）

3×10＋16＝46（个）

答：这个幼儿园有10位小朋友，苹果的总数是46个。

例【3】 北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。如果没车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。一共有几辆汽车？有多少学生？

分析 每车多坐5人，也就是每车坐70人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即70人。因此，问题转化为：如果每车坐65人，则有15人不能乘车。如果每车坐70人，则还差70人。求有多少人和多少辆汽车。

解 （15＋70）÷（70－65）＝17（辆）

65×17＋15＝1120（人）

答：一共有17辆汽车，1120位学生。

例【4】 小明的爷爷买回一筐梨，分给全家人。如果小明和小妹每人分4个梨，其余每人分2个梨，还多出4个梨。如果小明1人分6个梨，其余每人分4个梨，又差12个梨。小明家有多少人？这筐梨子有多少个？

分析 第一种分法是小明、小妹各4个梨，其余每人2个梨，多余4个梨。假设小明、小妹也分2个梨，那么会多多少个梨呢？很容易想，多出：2×2＋4＝8（各）。第二种分法是小明一人得6个梨，其余每人4个梨，差12个梨。假设小明也只分4个，那么就只差：12－2＝10（个）。

解 小明家的人数为：2×2＋4＋（12－2）＝18（个）

18÷2＝9（人）

梨子的个数为：

4×2＋2×（9－2）＋4＝26（个）

或：6＋4×（9－1）－12－26（个）

答：小明家有9个人，这筐梨有26个。

例【5】 同学们暑假前到图书馆借书，如果每人借4本，则最后少2本；如果前2人每人先借8本，余下的人每人借3本，这些图书恰好借完，书的总数是多少？

解 第二种借法中如果每人借3本，则余下：

（8－3）×2＝10（本）；

两种借法每人相差：4－3＝1（本）；

两种借法相差本数：10＋2＝12（本）

借书的总人数：12÷1＝12（人）；

书的总数：4×12－2＝46（本）

小结 通过以上例题的分析解答，我们不难看出：一般地，在盈亏问题中：

（盈数＋亏数）÷两次差＝参加分配的数