三角函数是中学数学的主体内容,也是高考的热点,对高考三角函数的考点分析、题型解析、解题应用等问题的研究分析,有助于提高教师指导水平和学生的高考应战能力。
一、高考三角函数考点分析
近几年高考对三角函数部分的考查主要有两个方面:一是三角函数的变换,二是三角函数图像和性质。考查的知识点:
1.三角函数的图象和性质是考查的重点。2.三角函数的化简求值是常考题型。3.考应用,建立三角模型。4.考综合,突出三角的函数性质。
二、高考三角函数典型题型解析
1.三角函数图像变换
图像变换是三角函数的考察的重要内容,解决此类问题的关键是理解A,?棕,?渍的意义,特别是?棕的判定,以及伸缩变换对?渍的影响。
例如:将函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin(4x+φ)的图象,则φ等于( )
A、-■ B、-■ C、■ D、■
考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
分析:利用函数图象的平移,求出函数的解析式,与已知解析式比较,即可得到φ的值.
解答:解:函数y=sin4x的图象向左平移■个单位,得到y=sin4(?仔+■)的图象,就是y=sin(4x+φ)的图象,故选C
2.常见的几种三角函数求值题型。
(1)y=asinx+b、(或y=acosx+b)型
基本思路:利用sinx≤1(或cosx≤1)即可求解,但必须注意字母a的符号对最值的影响。
例:求函数y=asinx+b(a≤0)的最大值。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,且a≤0,从而函数 y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。
(2)y=asin2x+bsinx+c(或y=cos2x+cosx+c)型
基本思路:可令t=sinx(或t=cosx)t≤1化归为闭区间上的二次函数的最值问题。
例:求函数y=sin2x+2cosx-3的值域。
分析:此类题目可以转化为型y=cos2x+cosx+c的三角函数的最值问题。
解:由于y=sin2x+2cosx-3
=1-cos2x+2cosx-3
=-cos2x+2cosx-2,
令t=cosx t≤1则原式转化为:y=-t2+2t-2 t≤1
对上式配方得:y=-(t-1)2-1 t≤1
从而当t=-1时,ymin=-5;当时t=1时,ymax=-1。
所求函数的值域为[-5,-1]。
(3)y=■(或y=■)型
基本思路:可化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理;或用万能公式换元后利用判别式法去处理,特别a=c时,还可以利用数形结合法去处理。
例:求y=■的值域。
分析:此题我们采用化归为sin(x+?渍)=g(y)去处理。
解:由y=■得:ycosx-sinx=-2-3y,
■sin(x+?渍)=-2-3y,
∴sin(x+?渍)=-■
又由于csin(x+?渍)=■≤1
解得:y∈[■,■]。
(4)含有sinx?芄cosx,sinxcosx的函数最值问题
基本思路:可令t=sinx?芄cosx,t≤■将sinxcosx转化为t的关系式,从而化归为二次函数的最值问题。
例:求函数y=(sinx+1)(cosx+1)的值域。
分析:由于上式展开后为:y=sinxcosx+sinx+cosx+1恰好为上述形式的三角函数的最值问题。所以可令t=sinx+cosx,t≤■去求解。
解:由y=(sinx+1)(cosx+1)展开得:y=sinxcosx+sinx+cosx+1,
设t=sinx+cosx,t≤■,则sinxcosx=■,
此时:y=■+t+■=■(t+1)2
∴y∈[0,■]。
(5)含参数型的三角函数的最值问题
基本思路:需要对参数进行讨论。
例:求函数yasinx+b的最大值。
分析:由于a的符号不确定,所以要对参数a的符号加以讨论。
解:由于sinx≤1,所以-1≤sinx≤1,
当a≥0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为a+b;
当a<0时,函数y=asinx+b(a≤0)的最大值为-a+b。
3.三角函数的单调性综合运用
三角函数是中学数学的七类基本初等函数之一,具有比较完备的函数性质,又因系统的三角公式及其变换,使三角函数问题丰富多彩、层次分明、变化多端,常与函数、三角、数列、解析几何等结合考查。
例:已知函数f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x的值;
命题意图:本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识,还考查计算变形能力,综合运用知识的能力。
知识依托:熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识。
技巧与方法:等价转化,逆向思维。
解:(1)f(x)=2cosxsin(x+■)-■sin2x+sinxcosx
=2cosx(sinxcos■+cosxsin■)-■sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+■cos2x=2sin(2x+■)
∴f(x)的最小正周期T=π
方法归纳:
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有:
1.考查三角函数的图象和性质的基础题目,此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用。
2.三角函数与其他知识相结合的综合题目,此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力。在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点,并可以逐渐加强。
3.三角函数与实际问题的综合应用
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力,要注意数形结合思想在解题中的应用。
(2)当2x+■=2kπ-■,即x=kπ-■(k∈Z)时,f(x)取得最小值-2.
三、高考中三角函数的解题应用
高考试题中的三角函数题注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。
(一)知识整合
1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等。2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质。
(二)方法技巧
1.三角函数恒等变形的基本策略
(1)常值代换.(2)项的分拆与角的配凑。(3)降次与升次。(4)化弦(切)法。
2.证明三角等式的思路和方法
(1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角函数高考题的策略
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。