七年级上册《实数》教学案例

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　　例2与例3要求是不同的。例2在运算中遇到无理数但并不需要求出结果的近似值，例3却不同，不仅在运算中遇到无理数且需要求出结果的近似值，在教学中应该提醒学生注意按照问题的要求解决问题。

　　课堂巩固

　　课本第178页练习第2、3题。

　　小结

　　布置作业

　　①必做题：课本第179页习题10.3的第4、5、6、8题。

　　②选做题：课本第179页习题10.3的第9题。

　　③备选题：

　　(1)若m表示一个实数，则-m表示一个()

　　A.负数　B.正数　C.实数　D.非正数

　　(2)计算：

　　①求5的算术平方根与2的平方根之和(保留三个有效数字);

　　②

　　

 

　　(精确到0.01);

　　③已知

　　

 

　　，求ab的值。

　　④个钢球的体积是200cm3，求它的半径(π取3.14，结果保留三个有效数字)。

　　设计思想

　　本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化，自己探索得到结论：实数与数轴上的点的一一对应关系，从而培养学生自主探索的学习方法。

　　在“比一比”教学环节中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要的数学思想：转化思想。

　　在“算一算”教学环节中，先复习七年级上已经学习过的有理数范围内的运算律，然后提出一个富有启发性且具有探索意义的问题“我们如何知道运算律在实数范围内是否适用?”

　　然后鼓励学生多举一些例子来验证，其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。

　　背景资料

　　中国古代科学家对π的研究

　　圆周率是一个极其驰名的数。从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题而提出的。几千年来古今中外一代一代的数学家为了求出它的尽量准确的近似值献出了自己的智慧和劳动。德国数学史家康托曾说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。”直到19世纪初，求圆周率的值仍然是数学中的头号难题。

　　在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：叫做：“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。这正反映了早期人们对圆周率π和

　　

 

　　这两个无理数的粗略估计。东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。后人称之为“古率”。东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器──律嘉量斛，刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。为此，大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。现在根据铭文推算，其计算值分别取为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031比“径一周三”的古率已有所进步。人类的这种探索的结果，当主要用来估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其他计算就不合适了。凭直观推测或实物度量，来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

　　在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出π=3.14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法却有着较阿基米德方法更美妙之处。割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以至于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π=3927/1250=3.1416。而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。这种精加工方法的效果是奇妙的。这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。对此，《隋书·律历志》有如下记载：“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。”这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。其一是求得圆周率3.1415926<π<3.1415927;其二是，得到π的两个近似分数即：约率为22/7;密率为355/113。他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界纪录九百多年。以至于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。这一结果是如何获得的呢?追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。祖冲之是否还使用了其他的巧妙办法来简化计算呢?这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。

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